Wenn du unter
about:preferences#applications
den suchbegriff pdf eingibst, was kannst du dort alles einstellen? Und hast du im Adobe Reader eingestellt dass das PDF Plugin im Browser angezeigt werden soll?
Falls du eine 64bit Version von Firefox hast, wird dieses Plugin allerdings gar nicht mehr unterstützt.
Nutze die 64 Bit Version, hmmm, dann wird das wohl der Grund sein warum es nicht klappt. 
Falls es dich in irgendeiner Weise tröstest, ab Firefox 52 funktioniert das auch in der 32-Bit-Version nicht mehr, dann entsteht dir im Vergleich durch die 64-Bit-Version also kein Nachteil mehr.
Nutze dafür doch den internen PDF-Reader von Firefox...
Ich hab da ebenfalls ein Problem (64-Bit Version, hatte es aber mit der 32-Bit Version ebenfalls ständig):
Der interne Reader funktionierte bei mir von Anfang überhaupt nicht, d.h. PDFs wurden trotz entsprechender Einstellung nie standardmäßig im internen Reader geöffnet, sondern immer der Auswahldialog "mit $PROGRAMM öffnen/speichern" geöffnet.
"Netterweise" ist sogar im Dialog die Option "Für Dateien dieses Typs immer diese Aktion ausführen" jedes Mal schon aktiviert. D.h. der FF wüßte, was er tun sollte, er tuts nur nicht, sondern fragt dauernd wieder nach. :-??
Deswegen bin ich vor einigen Jahren wieder dazu übergegangen, PDFs mit SumatraPDF zu betrachten (zusätzlich hab ich auch mal PDF-XChange verwendet und probier grade Evince aus). Damit tritt das Problem ebenfalls auf, nur sonderbarerweise etwas seltener als mit dem internen Reader.
Ein neues Profil erstellen hab ich auch schon des öfteren ausprobiert (nicht nur wegen dieses Problems, aber auch), weil ich mir dachte, dass vielleicht irgendwelche Altlasten von ehemaligen Addons, Plugins oder sowas querschießen könnten. Nur leider ohne Erfolg.
Das selbe Problem hab ich übrigens auch mit anderen Dateien:
Die Pointe ist: Bei all diesen Dateitypen ist im Auswahldialog immer die Option "Für Dateien dieses Typs immer diese Aktion ausführen" bereits aktiviert. :-??
Dann solltest du mal dein Windows (wieder) in Ordnung kriegen bzw. überprüfen. Führe mal eine Systemüberprüfung mittels sfc durch. Siehe dazu diese Anleitung.
Die Windows Systemintegritätsüberprüfung überprüft den PC nach evtl. Fehlern und versucht, wenn möglich diese selber zu beheben. Bitte davon am Ende die Meldung hier wiedergeben. (bitte nicht die dort erwähnte cbs.log, da diese ggf. mehrere M1B gross sein kann). Beachte auch, das dabei dein Windows auch stehts die aktuellen Updates von Microsoft haben sollte.
Im Anschluss, nach einer erfolgreichen Prozedur, dann mittels Win-Taste + R (Ausführen) und den Befehl
shutdown -g -t 0
den PC neu starten. Dabei lädt Windows alle Systemkomponenten komplett neu ein, ebenso wie Treiber und gemachte Einstellungen.