So, da ich den Tipp von Road-Runner doch noch ganz hilfreich fand, um wenigstens die Ursache zu finden, habe ich gerade mal den Laptop im abgesicherten Modus mit Netzwerktreibern gestartet. So, Youtube Video an, es lief - Tatsache. Für 3-4 Sekunden und dann kam "es ist ein Fehler aufgetreten", also im YouTube Fenster. Und das bei wirklich jedem Video. Habe ca. 20 ausprobiert. Also entweder ist Firefox an sich die verkorkste Software oder Firefox hat irgendwelche Probleme mit dem Flash Player. Das kann aber im abgesicherten Modus nun langsam nicht mehr an meinem angeblich so "verbogenem" Rechner liegen. Ich werde FF jetzt zurücksetzen und sehen, ob es was bringt.
Edit: So, das Zurücksetzen hat gebracht, dass der Hintergrund, wo die Videos sind nicht mehr weiß ist, sondern schwarz und man sehen kann, wo das Video sein müsste. Firefox scheint es irgendwie nicht gebacken zu bekommen mit dem Flash Player ordentlich zusammen zu arbeiten.
Edit2: Habe gerade Chrome installiert und dort läuft alles einwandfrei. Fazit: Firefox hat irgendwelche Probleme mit dem Flash Player Plugin, bzw. mit dem Treiber meiner Grafikkarte.