Wurde Firefox mit Admin-Rechten installiert?
Einen konkreten Tipp kann ich dir leider auch nicht geben, aber vielleicht hilft dir das weiter, was ich in so einem Fall machen würde: Firefox deinstallieren (Profil bleibt erhalten), dann Windows neu starten und den Firefox nochmal installieren.
Ich weiß, nicht sehr originell, aber wenn Windows rumzickt, funktioniert das manchmal/oft/meistens... 
Momentan fällt mir da auch nicht viel ein:
https://support.mozilla.org/de/kb/firefox-…ktioniert-nicht
Hinweis: Wenn Firefox nicht in der Programmliste steht, deinstallieren Sie Firefox von Ihrem Computer (Ihre Nutzerdaten wie Chronik oder Lesezeichen werden dabei nicht entfernt). Anschließend installieren Sie Firefox neu und sehen Sie nach, ob Firefox nun in der Liste der Webbrowser aufgeführt ist.
Evtl ist Edge eine Ursache, Lösung siehe
Wenn du unter Windows 10 nicht das wirkliche Admin Konto nutzt hast du nur eingeschränkte Rechte, auch als sogenannter Admin.
Probier mal
Eingabeaufforderung mit Rechtsklick als Administrator ausführen öffnen
net user administrator /active:yes - aktiviert das eingebaute Admin Konto
Passwort je nach Belieben oder auch nicht.
Dann das neue Admin Konto nutzen um Fx als Standard festzulegen (hoffe das geht)
