Gewünscht ist, dass die Benutzer an jedem Computer an dem sie sich anmelden ...
An sich wären dafür "roaming profiles" seit Jahrzehnten ein geeignetes Mittel.
Aber wenn dieser beschriebene Komfort ausschließlich für Firefox verfügbar sein soll, wäre wohl der erwähnte eigene Sync-Server ein geeigneteres Mittel.
Einen eigenen Sync-Server mit MySQL und Firefox-Account (wenn auch nur intern) finde ich schon wieder heftig
Dann eben basteln mit allen Vor- und Nachteilen.