Mit deinem Cookie-Problem solltest du mal gucken, ob in Einstellungen>Datenschutz>Cookies die betroffene Seite in den "Ausnahmen" mit Status blockieren gelandet ist.
Ansonsten würde ich wirklich mal versuchen ein neues Profil anzulegen bzw. dein altes zu löschen und Firefox ein neus Default-Profil anlegen lassen.
Evtl. dann mal deine Einstellungen bis auf Bookmarks und Passwörter nicht in das neue Profil übernehmen und alles andere neu konfigurieren.
Ist vielleicht etwas Aufwand, aber so wie du deinen Firefox beschreibst könnte sichs lohnen, so einmal neu anzufangen!
Gruss PM