Sodele ... Problem gelöst, Ursache gefunden.
Es lag an dem Programm "Acer Bio Protection". Das speichert die Fingerabdrücke des Anwenders, und man kann eine "Passwort Bank" aktivieren, um dann statt Benutzername und Passwort eine Authentifizierung per Fingerabdruck-Scanner vorzunehmen.
Nach der Aktivierung dieses Programms (also Einscannen der Fingerabdrücke) trat das Firefox-Problem bei der Anmeldung bei SSL Seiten auf ... Nachdem ich die Passwort-Bank deaktiviert habe, funktionierte es wieder ganz normal.
Für den Fall, dass jemand ein ähnliches Problem mal haben sollte ...
Hier mal ein paar Stichwörter für die Foren-Suche:
Acer Aspire 7730 Fingerabdruck Firefox https ssl Anmeldefenster verschwindet