Danke für den Tipp! Jetzt funzt das Teil.
Für alle mit dem gleichen Problem: Ich hab jetzt bei den Einstellungen jetzt so gemacht, dass bei "Datenschutz" die Option "Private Daten beim Beenden löschen" aktiviet ist. Bei den "Privaten Daten" habe ich sowohl den Cache alsauch die Download-Chronik ausgewählt.
Beim Beenden vom FF werde ich jetzt immer gefragt, ob ich diese Daten löschen möchte. Beim nächsten Start ist dann alles sauber und läuft wie geschmiert :-)))